Σύγκλιση Ακολουθιών

Έννοια

Ακολουθίες

Ως τώρα, έχουμε δει μόνο σύνολα πραγματικών αριθμών, τα οποία έχουν supremum και infimum.

Πολλές φορές, αυτοί οι αριθμοί είχαν μια φυσιολογική σειρά. Για παράδειγμα, στο σύνολο $\{1/n : n \in \mathbb{N}\}$, η φυσιολογική σειρά είναι $1, 1/2, 1/3$ κλπ.

Μπορούμε να δούμε αυτή τη σειρά στην παρακάτω ευθεία των αριθμών (οι αριθμοί πάνω από τα σημεία δείχνουν τη σειρά τους):

Ορισμός

Ορισμός Ακολουθίας

Για να εκφράσουμε μαθηματικά αυτήν την αρίθμηση των στοιχείων:

1. $\to$ $1$
2. $\to$ $1/2$
3. $\to$ $1/3$
4. $\to$ $1/4, \dots$

χρησιμοποιούμε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $\mathbb{N}$. Σαν πεδίο τιμών, μπορούμε να βάλουμε όλο το $\mathbb{R}$, αφού τα στοιχεία της ακολουθίας θα βρίσκονται κάπου μέσα στο $\mathbb{R}$.

💡 Μία ακολουθία είναι μια συνάρτηση $\alpha: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$.

Διαίσθηση

Σύγκλιση Ακολουθίας

Η ακολουθία $(1/n)_{n \in \mathbb{N}}$ φαίνεται να πλησιάζει όλο και περισσότερο το $0$. Με σωστή ορολογία, λέμε ότι συγκλίνει στο $0$.

Ας αλλάξουμε έναν από τους αριθμούς στην ακολουθία: Ας αντικαταστήσουμε το $1/3$ με το $1$ (έτσι, η ακολουθία περνάει από το $1$ δύο φορές).

Η νέα ακολουθία συγκλίνει και πάλι στο 0;

Ορισμός Σύγκλισης

Τι σημαίνει "κοντά";

Τι σημαίνει ακριβώς αυτή η συνολική κίνηση της ακολουθίας προς το 0; Πώς μπορούμε να την περιγράψουμε;

Θέλουμε ουσιαστικά οι όροι της ακολουθίας, μετά από ένα σημείο, να βρίσκονται πολύ κοντά στο 0 (και να έρχονται ακόμα πιο κοντά στη συνέχεια).

Για να περιγράψουμε αυστηρά αυτό το "κοντά", θεωρούμε μία τυχαία απόσταση $\epsilon$ (έψιλον) που μπορεί να έχουμε από το 0.

Σε κάθε τέτοια περιοχή γύρω από το 0, τι θέλουμε να κάνει η ακολουθία;

Ορισμός Σύγκλισης

Ο Αυστηρός Ορισμός

Θέλουμε σε κάθε τέτοιο διάστημα που μπορούμε να ορίσουμε γύρω από το 0, η ακολουθία εν τέλει να μπαίνει μέσα σε αυτό το διάστημα.

Και μάλιστα, μετά από ένα σημείο, πρέπει να μην ξαναβγαίνει ποτέ έξω από αυτό το διάστημα.

Ανταυτού, πρέπει να μπαίνει μέσα σε μικρότερα διαστήματα γύρω από το 0. iΓι' αυτό μιλάμε για κάθε $\epsilon$. Θέλουμε να μπαίνουμε μέσα στο διάστημα, όσο μικρό $\epsilon$ και να επιλέξουμε!

Μαθηματικός Ορισμός:

Μια ακολουθία $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ συγκλίνει στο 0 αν:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \ge n_0 \implies a_n \in (-\epsilon, \epsilon) $$

Αν συγκλίνει σε έναν άλλο αριθμό $\alpha$ και όχι στο 0, τότε θέλουμε απλά η ακολουθία να μπαίνει (από ένα σημείο και μετά) στο διάστημα $(\alpha - \epsilon, \alpha + \epsilon)$.

Παράδειγμα

Ένα δύσκολο παράδειγμα

Θεωρούμε την παρακάτω ακολουθία, που κάθε τρεις και λίγο επιστρέφει στο 0.9 (περνάει μάλιστα άπειρες φορές από αυτόν τον αριθμό!).

Τι λες, συγκλίνει αυτή η ακολουθία;

Αυστηρό παράδειγμα

Η Απόδειξη

Πώς μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ακολουθία $(1/n)_{n \in \mathbb{N}}$ συγκλίνει στο 0, με βάση τον Ορισμό που δώσαμε;

Θεωρούμε ένα $\epsilon >0$ (και το αντίστοιχο διάστημα $(-\epsilon, \epsilon)$ ).
Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ένας φυσικός αριθμός $n_0$, για τον οποίον το $1/n_0$ είναι μέσα στο διάστημα.
Ύστερα από αυτό, οι επόμενοι αριθμοί $1/n$ είναι μικρότεροι από τον $1/n_0$! iΓιατί $n \geq n_0 \implies 1/n \leq 1/n_0$. Και ταυτόχρονα ξέρουμε ότι $0 \leq 1/n$ και $1/n_0 \leq \epsilon$.

Γιατί υπάρχει φυσικός αριθμός $n_0$ τέτοιος ώστε $1/n_0 \in (-\epsilon, \epsilon)$;